Zadanie 4.144

Udowodnij, że w trójkącie \(ABC\), gdzie bok \(AB\) jest najdłuższy, po odłożeniu na nim odcinków \(AF\) ($|AF| = |AC|$)) oraz \(BE\) ($|BE| = |BC|$)), miara kąta $\angle FCE$ wynosi $\frac{\gamma + \delta}{2}$, gdzie $\gamma$ i $\delta$ są kątami wewnętrznymi trójkąta.

Dowód:

1. Oznaczenia kątów: Niech $\angle FCE = \beta - \zeta$ oraz $\angle FCE = \alpha - \epsilon$.
2. Dodanie równań stronami: $$2\angle FCE = \beta + \alpha - \zeta - \epsilon$$
3. Wykorzystanie własności trójkąta: Z sumy kątów w trójkącie: $$\gamma + \epsilon + (180^\circ - \beta) = 180^\circ \implies \gamma + \epsilon = \beta$$ $$\zeta + \delta + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ \implies \alpha = \zeta + \delta$$
4. Podstawienie do równania: $$2\angle FCE = (\gamma + \epsilon) + (\zeta + \delta) - \zeta - \epsilon$$ Uproszczenie: $$2\angle FCE = \gamma + \delta \implies \angle FCE = \frac{\gamma + \delta}{2}$$

Wniosek: Miara kąta $\angle FCE$ rzeczywiście wynosi $\frac{\gamma + \delta}{2}$, co kończy dowód.